Зенон

Submitted by agnostik on Вск, 09/14/2014 - 10:59

Третий философ в этом разделе - Зенон, друг и согражданин Парменида. Платон в диалоге Парменид изображает его ревностным защитником философии своего учителя, готовым отразить любые выпады против него. Но исследователям всегда было трудно понять, каким образом дошедшие до нас аргументы Зенона могли служить для обоснования системы Парменида. Некоторые приходили к выводу, что Зенон был любителем головоломок, жаждущим докопаться до неразрешимых трудностей, что он даже был софистом, а приверженцем Парменида стал не столько из-за совпадения философских взглядов, сколько из любви к парадоксальным идеям. Такого рода вопросы я, однако, оставлю в стороне.
Мы располагаем ценными фрагментами, где Зенон выставляет аргументы "против множественности", т. е. против положения, что существуют многие объекты. Кроме того, Аристотель сохранил, в парафрастической форме, четыре аргумента "против движения", цель которых - доказать, что ничто не движется.
Аргументов против множественности было несколько. Все они излагались в форме антиномии. Зенон принял этот тип аргументации: он показывал, что, если существуют многие объекты, тогда эти объекты должны быть одновременно F и G, между тем как F и G обладают несовместимыми свойствами. Так, в антиномии, представленной в одном из сохранившихся фрагментов, показано, что элементы предполагаемой множественности должны быть одновременно очень малыми и очень большими, вернее сказать, они должны быть вовсе лишенными какой-либо величины и в то же время бесконечными по величине. Доводы, на которых Зенон основывал первый член своей антиномии, нам неизвестны. Аргумент, выдвинутый для обоснования второго члена, таков:
"Но если есть [многие?], то необходимо, чтобы каждое имело величину и толщину и чтобы из двух его частей одна была внеположна другой. Этот же довод относится и к той из двух частей, которая предшествует другой. Ведь и она будет иметь величину и что-то в ней будет предшествовать [остальному]. Все равно, сказать ли это один раз или повторять до бесконечности. Ибо ни одна из этих частей не будет ни последней, ни такой, у которой не было бы {описанного} отношения между частями. Таким образом, если сущие множественны, то необходимо, чтобы они были и малыми, и большими: настолько малыми, чтобы не иметь величины, настолько большими, чтобы быть беспредельными" (Симпликий. Комментарий к "Физике", 141, 2-6; DK 29 В i; KRS, n° 316, p. 286-287: "Если же оно[1] есть, то каждая часть {его} должна иметь какую-то величину и толщину и в ней одна часть должна быть внеположна другой. И к предлежащей части применим тот же довод. А именно, и она будет обладать величиной, и в ней будет предлежащая часть. Все равно, сказать ли это один раз или говорить постоянно. Ведь ни одна из таких частей не будет крайней, и не будет ни одной, у которой не было бы {описанного} отношения к другой части. Таким образом, если существуют многие вещи, то они должны быть и малыми, и большими: настолько малыми, чтобы не иметь величины, настолько большими, чтобы быть беспредельными").
В аргументации есть довольно странный пробел, но главные пункты ее понятны.
Предположим, что существует объект X. Тогда X должен иметь определенную величину (тезис, предварительно доказанный Зеноном в качестве леммы) и, следовательно, необходимо, чтобы он имел "выступающую" часть - часть, "внеположную" другой части X. Назовем выступающую часть У, не выступающую часть - X*. Тогда часть У, поскольку она существует, должна иметь определенную величину, обладать выступающей частью Ζ и не выступающей частью У*. Этот процесс деления на части никогда не прекратится. "Таким образом, - заключает Зенон, - необходимо, чтобы X был бесконечным". Почему? Здесь в доказательстве пробел. Вероятно, Зенон предположил, что получена бесконечная последовательность объектов, X*, У*, Ζ*... и что все эти объекты - части X. Будучи составленным из бесконечного множества частей, X, следовательно, и сам должен быть бесконечным. Ведь X равновелик сумме своих частей, а сумма бесконечной последовательности объектов, из которых каждый обладает определенной величиной, может быть только бесконечной.
Часто высказывалось суждение, что Зенон совершает довольно банальную ошибку - ошибку, полностью исправленную математикой. А именно, Зенон предполагает, что сумма всякой бесконечной последовательности должна быть бесконечной, тогда как математики доказали, что есть такие бесконечные последовательности, сумма которых конечна, - к ним относится и последовательность, построенная Зеноном. Поскольку X* составляет половину X, У* - половину У.., мы можем изобразить Зенонову последовательность так:
1/2 ,1/4, ⅛...
Сегодня известно, что сумма этой сходящейся последовательности в точности равна единице: парадокс Зенона теряет свой блеск.
Однако если аргумент Зенона неоснователен, то и традиционная критика, только что мною представленная, в свою очередь, ошибочна. Прежде всего, Зенон не опирается на последовательность типа
1/2 ,1/4, ⅛...
Хотя один из аргументов Зенона против движения получил название "Дихотомия", что означает последовательное деление на два, в приведенном выше тексте ничто не обязывает нас к такой интерпретации. Зенон говорит, что всегда должна быть выступающая часть, но он не говорит, что эта часть равна половине целого. Конечно, можно представить образуемые части X в виде последовательности
1/n, 1/m, 1/k...
Но не очевидно, что любая последовательность этого типа, которую мог бы породить описываемый у Зенона процесс, дает в сумме единицу.
Второе критическое замечание относительно традиционного решения парадокса гораздо острее. Математика не разрешила парадокс Зенона, потому что парадокс этот - не математический. Суть парадокса в действительности составляет проблема: как получить сумму бесконечной последовательности? что значит "получить сумму" такой последовательности? Мы усваиваем понятие сложения исходя из конечных последовательностей: 1 + 3 = 4; 2 + 5 + n = 18... Но усвоенное таким образом понятие нельзя автоматически применять к бесконечным последовательностям. Чтобы возразить на довод Зенона, мы должны придать более строгий смысл понятию бесконечного, томившему трезвые умы. Надо подвергнуть анализу понятие бесконечного, чтобы объяснить, как можно осуществлять такое действие, как сложение, в отношении бесконечной последовательности объектов. Это - задачи философские; всякую математическую констатацию должны подтверждать заключения философии. Простое заявление, что сумма сходящейся последовательности равна единице, никоим образом не опровергает аргумент Зенона.
Перейдем теперь к знаменитым аргументам Зенона против движения. По Аристотелю, их было четыре. Первый, которым я здесь и ограничусь, изложен у Аристотеля в одной фразе:
"Первый - о невозможности движения, так как перемещающееся <тело> прежде должно дойти до половины, нежели до конца" (Аристотель. Физика, 239 b 10-12; DK 29 А 25[2]).
Итак, предположим, что объект X движется из А в В. Прежде чем достичь В, X должен достичь а₁ - точки, находящейся посредине между А и В. Затем - лаконичное изложение Аристотеля надо, конечно, дополнить - X должен достичь a₂, точки, находящейся посредине между а₁ и В, прежде чем он достигнет В. И, далее, а₃, а₄, прежде чем достичь В...

Отсюда - проблема. Разумеется, и здесь тоже речь идет о бесконечности, так как срединные точки, находящиеся между А и В, образуют бесконечную последовательность пунктов, которые X должен пройти один за другим, прежде чем он достигнет В.
Суть аргумента можно сформулировать так:
1) Чтобы достичь В - чтобы двигаться, - X должен поочередно выполнить бесконечное число различных задач (он должен достичь а₁, затем a₂ и т. д.).
2) Невозможно поочередно выполнить бесконечное число различных задач.
3) Следовательно, X никогда не достигнет точки В и ничто не движется.
Две посылки этого доказательства влекут за собой заключение. Поэтому, если мы хотим, вопреки Зенону, отвергнуть заключение и спасти движение, или сделать его возможным, мы должны отказаться либо от посылки 1), либо от посылки 2), либо от них обеих. Великолепие этого короткого доказательства в том, что обе посылки, как нам кажется, не подлежат сомнению.
Если отбросить первую посылку, придется допустить или что пространство не является континуумом, т. е. что оно не делимо до бесконечности; или что, двигаясь из А в В, объект может, так сказать, "перескочить" некоторые точки между А и В. Рассмотрим вторую возможность. Между А и В есть бесконечная последовательность срединных точек, но X может попасть, например, прямо из a₂₃ в a₂₅, минуя точку a₂₄, которая находится между а₂₃ и а₂₅. Трудно вообразить себе подобный подвиг! А чтобы реализовалась первая возможность, пространство должно иметь "квантифицированную" структуру: должны существовать "атомы" пространства, как существуют атомы материи. Если признать такую возможность, надо отказаться от основ современной физики, для которой пространство и время - измерения континуальные.
Может быть, легче расстаться со второй посылкой? В этом случае нужно объяснить, как можно осуществить, т. е. завершить, бесконечную последовательность - а это кажется невозможным. Дело касается не физики (и не математики), а скорее логики и анализа. Философия попыталась объяснить, почему в определенном смысле и в отношении определенных последовательностей понятие последовательности, одновременно бесконечной и завершенной, не является противоречивым; но до сих пор не удалось построить теорию, убедительную для всех ученых.
Первый аргумент Зенона против движения не доказывает, что мы недвижимы, - конечно, мы двигаемся. И тем не менее этот аргумент - поистине образец философствования: совсем простое рассуждение, в котором из двух тривиальных посылок выводится явно абсурдное заключение. Либо мы никогда не двигаемся, либо мы всегда осуществляем бесконечные последовательности задач, либо современная физика глубоко заблуждается. Вот что доказал Зенон двадцать пять веков назад.
[1] Т. е. сущее. Предыдущая фраза: «Если бы сущее (to on) не имело величины, то его бы не было».
[2] Пер. А. В. Лебедева.